Propriétés des triangles

La procédure pour trouver tous les éléments inconnus d’un triangle avec l’aide d’éléments connus est appelée la "résolution d’un triangle" et la valeur des éléments inconnus est appelée la "solution d’un triangle".

Un triangle est complètement déterminé (tous les éléments sont connus) si 3 des 6 éléments d’un triangle, avec au moins un côté, sont connus.

Triangle ABC

Dans un triangle \(ABC \) quelconque :

  • \( A + B + C = \pi = 180°\)
  • \( a \lt b+c \ , \ b \lt c+a \ , \ c \lt a + b \). La somme de deux côtés est inférieure au troisième côté.

\( A, B, C\) désignent respectivement les angles \( \widehat{BAC}, \widehat{ABC}, \widehat{ACB} \).

Théorème du sinus

Dans un triangle quelconque \( ABC\), les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés : $$ \dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} $$

Théorème du cosinus

Dans un triangle quelconque \( ABC\) : $$\begin{align*} a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A & & \Longleftrightarrow & & \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\[8pt] b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cos B & & \Longleftrightarrow & & \cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\[8pt] c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C & & \Longleftrightarrow & & \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\[8pt] \end{align*}$$

Théorème de projection

Dans un triangle quelconque \( ABC\) : $$\begin{align*} a = b \cos C + c \cos B \\[8pt] b = a \cos C + c \cos A \\[8pt] c = a \cos B + b \cos A \end{align*}$$

Aire d’un triangle

L’aire \( \mathcal {A}\) d’un triangle \( ABC\) est donnée par : $$\begin{align*} \mathcal {A} &= \dfrac{1}{2}bc \sin A \\[8pt] &= \dfrac{1}{2}ca \sin B \\[8pt] &= \dfrac{1}{2}ab \sin C \end{align*}$$